En liten NOG-kurs

Detta är en liten kurs till högskoleprovets NOG-del. Denna sida går igenom lite allmännt hur du kan lösa NOG-uppgifter. Några av uppgiftstyperna har dessutom egna kurssidor med förklaringar och tips. Du kan komma åt kurssidorna genom att välja uppgiftstyp i urvalslistan "Matematikdel" i högra delfönstret och klicka på knappen "Visa kurs". Följande uppgiftstyper har egna kurssidor:
  • Uppgifter med index
  • Uppgifter med sannolikhet
  • Uppgifter med räta linjen
  • Uppgifter med geometri


    Om NOG-delen

    1
    Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år. Hur gamla är var och en?

    (1)
    Anna är dubbelt så gammal som Per.
    (2)
    Per är 10 år äldre än Erik.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    Påhittad uppgift. Svar:C

    Ovanför ser du hur en typisk uppgift är utformad på NOG-delen. Uppgifterna har alltid en inledning, ett påstående (1), ett påstående (2), och sedan frågas alltid "Tillräcklig information för lösningen erhålls", och slutligen de 5 svarsalternativen som alltid är desamma:
    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena

    Uppgiften fungerar så att du i inledningen ges ett matematiskt problem. Till skillnad från vanliga matematiska problem kräver uppgifterna på NOG-delen inte att du räknar ut lösningen. Du behöver alltså inte räkna ut 3.14 gånger 2, eller hur stor area en cirkel har. Istället ska du avgöra om det finns tillräckligt med information för att komma fram till svaret. Om jag till exempel säger till dig att Anna är dubbelt så gammal som Per och sedan frågar dig hur gammal Anna är, så har du inte tillräcklig information för svaret. Om jag dock också lägger till att Per är 20 år gammal, då har du tillräckligt med information för att bestämma svaret.

    Vidare är NOG-uppgifterna indelade i två olika påståenden, (1) och (2). Du måste ta ställning till problemet dels med information i (1) men inte i (2). Dels med informationen i (2) men inte i (1). Och slutligen måste du eventuellt ta ställning till problemet med informationen i (1) och (2) tillsammans.

    Ett exempel:

    Vi tittar på uppgiften som stod i början av sidan:

    Du betraktar först problemet med informationen i (1) och inte i (2):

  • Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år.
  • Anna är dubbelt så gammal som Per.
    Här måste du ställa dig frågan om du har tillräckligt med information för att lösa problemet som är att bestämma var och ens åldrar. Även om du inte vet hur du gör detta ännu, så kan jag säga att informationen inte är tillräcklig. Du kan alltså nu eliminera alternativ A. Även alternativ D är ej längre möjligt.

    Du betraktar sedan problemet med informationen i (2) men inte (1):

  • Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år.
  • Per är 10 år äldre än Erik.
    Återigen får du ställa dig frågan om det här är tillräckligt med information för lösningen, dvs att bestämma var och ens åldrar. Även här kan jag avslöja att informationen ej är tillräcklig. Detta betyder att ej heller alternativ B är möjligt.

    Nu återstår att testa om informationen är tillräcklig med (1) och (2) tillsammans:

  • Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år.
  • Anna är dubbelt så gammal som Per.
  • Per är 10 år äldre än Erik.
    Här frågar du dig åter om informationen är tillräcklig för att bestämma var och ens åldrar. Här kan jag säga att information är tillräcklig. Rätt svarsalternativ måste alltså vara C. Hade informationen fortfarande inte varit tillräcklig här, även här, så hade rätt svarsalternativ varit E.

    Hur löser man NOG-uppgifterna?

    Du har nu sett ett exempel ungefär hur det kan gå till när man löser en NOG-uppgift. Du har sett att en NOG-uppgift egentligen är flera mindre deluppgifter som du måste ta ställning till.
    Den första deluppgiften är att avgöra om problemet är lösligt med enbart informationen i (1).
    Den andra deluppgiften är att avgöra om det är lösligt med enbart informationen i (2).
    Om problemet varken var lösligt med (1) eller (2) för sig måste du slutligen slutligen ta dig an den tredje deluppgiften: att avgöra om problemet är lösligt med informationen i (1) och (2) tillsammans. Beroende vad du kommer fram till i de olika deluppgifterna så kan du sedan välja rätt svarsalternativ. Så här kan man illustrera de vägar du kan ta till de olika svarsalternativen:

    Det går också att lösa deluppgifterna i annan ordning. Till exempel kan man börja lösandet i andra ändan, dvs att man först kollar om uppgiften är löslig med (1) och (2) tillsammans. Om den inte är det kan man direkt svara E. Annars får man gå vidare och även testa (1) och (2) för sig. Detta är bra ett sätt om uppgiften har väldigt lite information från början och E kan vara ett troligt svar.

    Oavsett vilken ordning man väljer så ställs man inför en eller flera deluppgifter att lösa. Att på detta sätt dela upp NOG-uppgiften i olika deluppgifter och därefter välja rätt svarsalternativ, är något du ganska lätt kommer lära dig med lite träning. Det svåra med NOG är i stället att för varje deluppgift avgöra om informationen du har är tillräcklig eller ej för lösningen. Det är detta vi kommer koncentrera oss på i fortsättningen.

    Hur avgör man om informationen är tillräcklig?

    För att avgöra om informationen är tillräcklig krävs en del logisk slutledningsförmåga. Det logiska tänkandet kan gå lite så här: "Om jag vet hur lång han är, då vet jag också hur mycket han väger. Då kan inte det vara sant. Därför måste detta vara den enda möjligheten. Alltså kan jag bestämma svaret". Alla har ett visst logiskt tänkande och det går alltid att träna upp ju fler uppgifter du gör.

    Vid sidan av det logiska tänkandet krävs också matematiska kunskaper. Du behöver veta vilka matematiska samband som finns, till exempel att en cirkels omkrets är lika med 2 gånger PI gånger cirkelns radie, så att om du vet cirkeln radie så kan du även bestämma cirkelns omkrets, och vice versa. Du behöver också känna till en del matematiska begrepp som förekommer i uppgifterna, till exempel "median", "cylinder" och "ökar linjärt". Enligt utformarna av högskoleprovet behövs endast kunskaper upp till Gymnasiets kurs Matematik A.

    Hur denna kurs är upplagd

    Först kommer jag gå igenom lite allmänna metoder för att lösa NOG-uppgifterna. Sedan är det så att uppgifterna på NOG-delen brukar vara indelade i vissa återkommande uppgiftstyper. Till exempel kommer alltid en uppgift med så kallad sannolikhet , en uppgift med så kallad index och en uppgift med så kallad koordinatsystem på provet. Vissa av dessa uppgiftstyper har egna kurssidor med tips och förklaringar. Det är följande uppgiftstyper:
  • Uppgifter med index
  • Uppgifter med sannolikhet
  • Uppgifter med räta linjen
  • Uppgifter med geometri

    Du kan även komma åt kurssidorna genom att välja uppgiftstyp i urvalslistan "Matematikdel" i högra delfönstret och klicka på knappen "Visa kurs".

    Vilka olika uppgiftstyper finns?

    Jag har analyserat de tre senaste högskoleproven HT2008, VT2008 och HT2007, och försökt se vilka olika uppgiftstyper som förekommer. Så här har de 66 uppgifterna på de tre proven fördelat sig:

    HT2008
    1. Index
    2. Logiskt
    3. Geometri area/sträcka
    4. Vanlig räkning
    5. Andelar
    6. Andelar
    7. Vanlig räkning
    8. Procent
    9. Vanlig räkning
    10. Andelar+procent
    11. Statistik
    12. Sannolikhet
    13. Geometri area/sträcka
    14. Vanlig räkning
    15. Vanlig räkning
    16. Geometri volym
    17. Vanlig räkning
    18. Koordinatsystem
    19. Procent
    20. Geometri vinklar
    21. Hastighet
    22. Logiskt
    
    VT2008
    1. Andelar
    2. Vanlig räkning
    3. Procent
    4. Geometri area/sträcka
    5. Logiskt
    6. Vanlig räkning 
    7. Vanlig räkning
    8. Index
    9. Vanlig räkning 
    10. Logiskt
    11. Procent
    12. Geometri vinklar
    13. Logiskt
    14. Procent
    15. Hastighet
    16. Sannolikhet
    17. Geometri volym
    18. Statistik
    19. Vanlig räkning
    20. Vanlig räkning 
    21. Koordinatsystem
    22. Statistik 
    
    HT2007:
    1. Statistik
    2. Index
    3. Logiskt
    4. Vanlig räkning
    5. Andelar
    6. Procent
    7. Procent+andelar
    8. Geometri area/sträcka
    9. Vanlig räkning
    10. Vanl räkning
    11. Vanl räkning
    12. Andelar 
    13. Sannolikhet
    14. Geometri volymer
    15. Vanlig räkning
    16. Hastighet
    17. Vanlig räkning
    18. Logisk
    19. Koordinatsystem
    20. Logisk
    21. Begränsnings-problem
    22. Geometri vinklar
    
    Totalt:
    Sannolikhet               3 (1 per prov)
    Index                     3 (1 per prov)
    Koordinatsystem           3 (1 per prov)
    Geometri area/sträcka     3 (1 per prov)
    Geometri volymer          3 (1 per prov)
    Geometri vinklar          3 (1 per prov)
    Statistik                 4 (ca 1 per prov)
    Andelar                   5 (ca 2 per prov)
    Procent                   6 (ca 2 per prov)
    Andelar+procent           2 (ca 1 per prov)
    Hastighet                 3 (1 per prov)
    Logiskt                   7 (ca 2 per prov)
    Begränsningsproblem       1
    Vanlig räkning           17 (ca 5 per prov)
    Totalt antal uppgifter   66 (22 per prov)
    

    Det finns alltså inte alltför många olika typer av uppgifter. Genom att specialträna varje uppgiftstyp för sig, så kan man vara mer förberedd när den typen av uppgift dyker upp på provet.

    En metod med att jämföra antal variabler och ekvationer

    Det finns lite olika angreppssätt när man tar sig an en deluppgift och försöker avgöra om informationen är tillräcklig eller ej. Jag märker själv att jag tänker lite olika beroende på vilken typ av uppgift det är. Här tänkte jag visa en metod som är väldigt användbar på vissa typer av uppgifter. Det är också den metod som datorn använder när den skapar lösningarna till uppgifterna i programmet.

    Vi tittar återigen på exemplet med Anna, Per och Erik:

    1
    Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år. Hur gamla är var och en?

    (1)
    Anna är dubbelt så gammal som Per.
    (2)
    Per är 10 år äldre än Erik.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    Påhittad uppgift. Svar:C

    Denna uppgift är sådan att det är svårt att sluta sig till direkt vad en av dem skulle ha för ålder. Det beror på att ingens ålder är given i början, utan allas åldrar beror av varandra. Hade någons ålder varit given i början, till exempel att Anna var 40 år, då hade vi kunnat sluta oss till att Per måste vara 20, och utifrån det hade vi kunnat sluta oss till att Erik måste vara 10. Det hade gått som i en kedja. Nu går inte det. Det är för sådana här typer av uppgifter som metoden är bra för. Metoden fungerar så här:

    Först tittar man på vilka okända saker som finns i uppgiften, vilket inom matematiken kallas för variabler. I vårt exempel har vi följande variabler:

  • A:Annas ålder
  • P:Pers ålder
  • E:Eriks ålder

    Sedan ställer man upp alla s.k. ekvationer som är givna. Ekvationer är de samband mellan variablerna som är uttryckta i informationen. Tillsammans bildar ekvationerna ett s.k. ekvationssystem. Med (1) för sig har vi t.ex. följande ekvationer:

  • A+P+E=70 (Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år)
  • A=2*P (Anna är dubbelt så gammal som Per)

    När man väl ställt upp ekvationssystemet så finns det en matematisk princip för att avgöra om det bara kan finnas en lösning eller flera. Den matematiska principen är att det bara finns en enda lösning om antal ekvationer är minst lika många som antal variabler. Finns det färre antal ekvationer än variabler så har systemet flera lösningar, och informationen är alltså inte tillräcklig för lösningen.

    Med hjälp av denna matematiska princip kan vi nu lösa uppgiften:

    Med (1) för sig har vi:

  • A+P+E=70 (Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år)
  • A=2*P (Anna är dubbel så gammal som Per)
    3 variabler förekommer, A,P och E, men vi har bara 2 ekvationer. Alltså går det inte att bestämma lösningen utan systemet har flera lösningar.

    Med (2) för sig har vi:

  • A+P+E=70 (Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år)
  • P-E=10 (Per är 10 år äldre än Erik)
    3 variabler förekommer återigen, A,P och E, men vi har fortfarande bara 2 ekvationer. Det går alltså inte att bestämma lösningen.

    Med (1) och (2) tillsammans har vi:

  • A+P+E=70 (Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år)
  • A=2*P (Anna är dubbel så gammal som Per)
  • P-E=10 (Per är 10 år äldre än Erik)
    Nu har vi minst lika många ekvationer, 3 st, som antal variabler, 3 st, och alltså finns det bara en lösning, och därmed är informationen tillräcklig. Rätt svar på hela uppgiften ska alltså vara C.

    Du kanske undrar varför denna matematiska princip fungerar. Det bygger lite på att ju fler ekvationer vi har, desto fler krav som variablerna måste uppfylla. Utan några ekvationer så har variablerna total frihet. Då finns det alltså flera lösningar. För varje ekvation som sedan läggs till så blir variablernas frihet mer och mer begränsade. När det till slut är lika många ekvationer som variabler, så går det inom matematiken att visa att variablerna är helt fastlåsta, och att det då bara finns en lösning. Vi kan illustrera detta för vår uppgift med Anna, Per och Erik:


    Inga ekvationer.

  • Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år

  • Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år
  • Per är 10 år äldre än Erik

  • Anna, Per och Erik är tillsammans 70 år
  • Per är 10 år äldre än Erik
  • Anna är dubbelt så gammal som Per
  • Varje prick representerar en möjlig lösning på problemet. Vi ser hur varje ekvation som läggs till begränsar antal möjliga lösningar. Till slut har lösningen ingen frihet alls utan är låst vid en enda möjlig lösning. Då finns det tillräckligt med information för att lösa uppgiften.

    Viktigt undantag 1: Redundanser

    Den matematiska principen att lösningen kan bestämmas då antal ekvationer är minst lika många som antal variabler har några viktiga undantag. Titta på följande uppgift från VT2008:
    20
    Idag fyller både Lars och Lena år. Lena är tre gånger så gammal som Lars.
    Hur många år fyller Lena?

    (1)
    När Lars blivit dubbelt så gammal som han är idag, kommer han att vara hälften så gammal som Lena.
    (2)
    Om 26 år är Lars och Lena 100 år tillsammans.

    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:20 Svar:B

    Med (1) för sig har vi:

  • Le=3*La (Lena är 3 gånger så gammal som Lars)
  • La+La=(Le+La)/2 (När Lars blivit dubbelt så gammal som han är idag, kommer han vara hälften så gammal som Lena)

    I ovanstående situation har vi lika många ekvationer, 2 st, som variabler, 2 st, och alltså borde lösningen kunna bestämmas, men det gör det inte. Anledningen är att de två informationerna faktiskt säger samma sak. Om Lena är 3 gånger så gammal som Lars, så betyder det också automatiskt att när Lars blivit dubbelt så gammal som han är idag så kommer han att vara hälften av Lenas ålder. Man kan se det som att om Lena idag är 3 delar Lars, så kommer när Lars är 2 delar Lena vara 4 delar Lars, och alltså dubbelt så gammal. Att den ena informationen säger samma sak som den andra kallas för att den är redundant. Den tillför ingen ny information utan är bara en omformulerig av information som vi redan känner till.

    Det betyder också att de två ekvationerna egentligen är en omskrivning av varandra. Det går att se genom att man multiplicerar den andra ekvationen med 2 på båda sidor och sedan flyttar om termerna: 2(La+La)=Le+La som blir 3*La=Le. Att den andra ekvationen är en omskrivning av den första ekvationen innebär att den inte tillför någon extra begränsning på variablerna, som jag pratade om i förra avsnittet. Egentligen har vi alltså bara 1 ekvation och 2 variabler och följaktligen går lösningen inte att bestämma.

    Det gäller alltså att se upp med redundanser i provuppgifterna, som också är ett medvetet sätt från provkonstruktörerna att försöka lura dig. Här är övriga uppgifter som jag kunnat hitta från de tre senaste proven där provkonstruktörerna medvetet smugit in redundanser. Det är ungefär 2 sådana uppgifter per prov.

    4
    Differensen mellan talen A och B är noll. Vilka är talen A och B?

    (1)
    Kvoten mellan A och B är 1.
    (2)
    Summan av A och B är 10.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:4 Svar:B

    (Redundansen är att om talen har differensen 0 så måste de ha kvoten 1)

    7
    Kim plockar en liten och en stor bukett med blommor. Hur många blommor innehåller den lilla buketten?

    (1)
    Kim ger bort två blommor från den lilla buketten varvid antalet blommor i buketten minskar med 1/6.
    (2)
    Den stora buketten innehåller 50 procent fler blommor än den lilla buketten. Den lilla buketten innehåller 2/5 av det totala antalet blommor i de båda buketterna.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:7 Svar:A

    (Redundansen är att om den stora buketten innehåller 50 procent fler blommor än den lilla, så är det detsamma som att lilla buketten innehåller 2/5 av det totala antalet blommor)

    14
    En vas har formen av en kon med basen uppåt. Vasen rymmer 12 dl.
    Hur hög är vasen?

    (1)
    Om vasens höjd halveras kommer den att rymma 1,5 dl.
    (2)
    Vasens innerdiameter högst upp är 12 cm.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:14 Svar:B

    (Redundansen är att om en kon har volymen 12dl så kommer den ha volymen 1,5dl = 1/8 av sin ursprungliga volym om den halveras. Detta är inte lätt att se, men om man utgår från formeln för konens volym V=PI*r2*h/3, så kommer halva vasen ha halva radien och halva höjden: Vhalva = PI*(r/2)2*(h/2)/3 = V/8.)

    6
    En ljuskrona innehåller ett bestämt antal ljus som kan tändas och släckas oberoende av varandra. Hur många ljus innehåller ljuskronan?

    (1)
    Om man släcker ett ljus som är tänt, så är de tända ljusen fyra fler än de släckta.
    (2)
    Om man tänder ett ljus som är släckt, så är de tända ljusen åtta fler än de släckta.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:6 Svar:E

    (Redundansen är att båda uttryck talar om att skillnaden mellan antal släckta och tända ljus från början är 6. Däremot sägs inget om hur många av varje ljus det finns)

    1
    I en bokhylla står endast blå och röda pärmar som antingen är i A4- eller A5-storlek. Det finns 6 blå pärmar. Hur många pärmar står i bokhyllan?

    (1)
    1/3 av pärmarna är i A5-storlek.
    (2)
    Av A4-pärmarna är 2/3 röda och 1/3 blå.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:1 Svar:E

    (Redundansen är att om 2/3 av A4-pärmarna är röda så måste 1/3 vara blå)

    14
    Några vänner ska köpa en present tillsammans. Hur mycket ska var och en betala för att det precis ska räcka till presenten?

    (1)
    Om var och en bidrar med 8 kr för lite så fattas det 40 kr.
    (2)
    Om var och en bidrar med 12 kr för mycket så blir det 60 kr över.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2008:14 Svar:E

    (Redundansen är att båda uttryck talar om att det finns 5 personer. Men inget sägs om hur mycket presenten kostar.)

    21
    För Gun tar det 3 timmar att köra motorcykel från Nordbro till Nyholm. Hur lång är sträckan som Gun kör?

    (1)
    För att resan ska ta 4 timmar måste Gun sänka medelhastigheten med 25 procent.
    (2)
    Om Gun ökar medelhastigheten med 25 km/h tar resan 2 timmar.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2008:21 Svar:B

    (Redundansen är att resan tar 3 timmar är detsamma som att resan skulle ta 4 timmar om medelhastigheten sänktes med 25%.)

    Viktigt undantag 2: Genvägar

    Den matematiska principen att lösningen är bestämd om antal ekvationer är minst lika många som antal variabler, har ett annat viktigt undantag. Titta på följande uppgift från VT2008:

    2
    x, y och z är tre tal. 5(x + y) + z = 15. Bestäm talet z.

    (1)
    x + y = –37
    (2)
    z · y = 222
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:2 Svar:A

    Vi ska alltså bestämma z.
    Med (1) för sig har vi:

  • 5(x+y)+z=15
  • x+y=-37

    I situationen ovanför har vi 3 variabler, x,y,z, men bara två ekvationer. Lösningen borde alltså inte gå att bestämma, men det gör den. Det beror på att vi kan betrakta uttrycket x+y som en variabel för sig. Följaktligen har vi då 2 variabler och 2 ekvationer och då går z att bestämma. Notera att även uttrycket x+y kan då bestämmas men inte x och y för sig.

    Precis som med undantag 1, redundanser, gäller det att se upp med genvägar, som också är ett sätt från utformarna av provet att vilseleda dig. Det verkar finnas ungefär 1-2 sådana uppgift per prov. Här är en till uppgift från provet VT 2008:

    17
    Två kuber är olika stora. Hur många gånger större volym har den större
    kuben än den mindre?


    (1)
    Den större kubens area är dubbelt så stor som den mindre kubens area.
    (2)
    Förhållandet mellan den större och den mindre kubens sidor är
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:17 Svar:D

    Om vi väljer följande variabler:
    s1:Sidan hos kub 1
    s2:Sidan hos kub 2
    k:Antal gånger större volym

    så har vi med (1) för sig följande ekvationer:

  • s1*s1*s1=k*s2*s2*s2 (Kub 1 har k gånger större volym än kub 2)
  • 6*s1*s1=2*s2*s2 (Kub 1 har dubbelt så stor area som kub 2)

    Ekvationssystemet har 3 variabler men bara 2 ekvationer och borde inte gå att lösa, men det finns en genväg. Vi skriver om ekvationerna på följande sätt:

    s1   s1   s1
    -- * -- * -- = k
    s2   s2   s2
    
    s1   s1   2
    -- * -- = -
    s2   s2   6
    

    Nu kan vi betrakta s1/s2, som är förhållandet mellan kubernas sidor, som en variabel för sig och då har vi totalt 2 variabler och 2 ekvationer, och följaktligen går k att lösa ut.

    Viktigt undantag 3: Begränsningsproblem

    Det finns även ett tredje undantag till principen att lösningen kan bestämmas om ekvationerna är lika många som variablerna. Studera följande två uppgifter som verkar likadana:

    1
    Anna blandar ingredienser till en deg. Ingredienserna är mjöl, socker och vatten. Hur mycket av varje ingrediens finns det?

    (1)
    Ingredienserna är tillsammans 10dl.
    (2)
    Det finns 5 gånger så mycket mjöl som socker.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    Påhittad uppgift Svar:E

    2
    Anna har kulor i en kulsäck. Kulorna är blåa, röda resp. gröna. Hur många kulor av varje färg finns det?

    (1)
    Kulorna är tillsammans 10 st.
    (2)
    Det finns 5 gånger fler blåa kulor än röda kulor.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    Påhittad uppgift Svar:C

    Uppgifterna är väldigt lika men ändå har de faktiskt olika svar. Den första uppgiften har svaret E, medan den andra har svaret C. I den första uppgiften har vi med (1) och (2) tillsammans 3 variabler och 2 ekvationer. och därmed är ju svaret E korrekt. Det finns ju flera lösningar, t.ex. 1dl socker, 5dl mjöl och 4dl vatten, men också 1,2dl socker, 6dl mjöl och 2,8dl vatten. I den andra uppgiften har vi med (1) och (2) tillsammans också 3 variabler och 2 ekvationer, vilket borde betyda att lösningen inte kan bestämmas. Men svaret är C. Vad är det som gör den andra uppgiften så speciell? Jo, variablernas värden måste vara heltal. Det går inte att 1,2 blåa kulor, 5 röda, och 2,8 gröna kulor. Då går det att se att den enda möjliga lösningen är 1 röd, 5 blåa och 4 gröna. Sådana uppgifter som uppgift 2, där begränsningar hos variablerna kan spela in på lösningen, har jag valt att kalla för begränsningsproblem.

    Förutom kulor, så kan begränsningsproblem handla om personers åldrar, antal biobesök mm, dvs problem där variablerna är heltal. Alla problem där variablerna är heltal är dock inte begränsningsproblem. Många av dem kan fortfarande lösas genom att jämföra antal variabler och ekvationer. Till exempel gick det att lösa uppgiften med att bestämma Annas, Pers och Eriks åldrar med den principen. Det berodde på att där var summan av variablerna 70, medan här i uppgiften med kulorna var summan 10 och därmed mycket mer begränsande.

    På de senaste 3 proven finns knappt något begränsningsproblem med, men de har förekommit desto mer på tidigare prov.

    Avslutande ord om metoden att jämföra ekvationer och variabler

    Är man medveten om de 3 undantagen: redundanser, genvägar och heltalsbegränsningar, så fungerar faktiskt metoden för ca 18 av de 22 uppgifterna på provet. De övriga 4 uppgifterna är av mer logisk natur där det inte går att ställa upp matematiska ekvationer. Att metoden fungerar för så många uppgifter betyder inte att den alltid är bra att använda. Det kan ta en del tid att sortera ut vilka variabler och ekvationer du har och provtiden är ju begränsad till 50 minuter. Först är det nog bäst att se om du kan "tänka dig till" svaret rent logiskt. Går inte det så är det en bra idé att börja ställa upp ekvationer och jämföra variabler.

    Det finns en del småsaker att tänka på när du ställer upp ekvationerna:

    Se upp med antal ekvationer. I följande uppgift motsvarar uttrycket a-b=b-c=c-d=4 inte en ekvation utan 3 ekvationer: a-b=4 och b-c=4 och c-d=4. Varje likhetstecken ger alltså upphov till en ekvation.

    15
    a + b + c + d = 64. Bestäm talen a, b, c och d.

    (1)
    a – b = b – c = c – d = 4
    b = 18
    (2)
    a > b > c > d
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:15 Svar:A

    Se upp med dolda samband. Alla samband eller ekvationer står inte uttryckligen i uppgiften, men de måste ända tas med eftersom de ju tillför viktig information. I följande uppgift har vi med (1) och (2) tillsammans tre variabler: sannolikheten för vit sten, sannolikheten för grå sten och sannolikheten för svart sten. Vad gäller antal ekvationer så har vi bara 2 stycken som står uttryckligen i uppgiften. Men det finns ett dolt matematiskt samband också, och det är att summan av sannolikheterna måste vara 1. Totalt har vi alltså 3 variabler och 3 ekvationer och problemet är alltså lösligt.

    13
    På en strand finns endast vita, svarta och grå stenar. Vad är sannolikheten att man får en vit sten om man tar upp en sten slumpmässigt?

    (1)
    Sannolikheten att ta upp en grå eller en vit sten är 0,7.
    (2)
    Sannolikheten att ta upp en svart eller en vit sten är 0,5.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:13 Svar:C

    Dolda samband kan också dyka upp beroende på hur du väljer dina variabler. I följande uppgift finns det lite olika sätt att välja variabler. Om man väljer de 3 variablerna: "antal ljus i kronan", "antal tända ljus", "antal släckta ljus", så måste man även ta med ekvationen att antal ljus i kronan är antal tända ljus plus antal släckta ljus. Om man bara väljer de 2 variablerna "antal tända ljus" och "antal släckta ljus" så behöver man inte tänka på det.

    6
    En ljuskrona innehåller ett bestämt antal ljus som kan tändas och släckas oberoende av varandra. Hur många ljus innehåller ljuskronan?

    (1)
    Om man släcker ett ljus som är tänt, så är de tända ljusen fyra fler än de släckta.
    (2)
    Om man tänder ett ljus som är släckt, så är de tända ljusen åtta fler än de släckta.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    VT2008:6 Svar:E