Tillbaka till kursens huvudsida
Träna på provuppgifter med index

Index

En uppgift som alltid förekommer på högskoleprovet är index. Här är de tre index-uppgifterna från de tre senaste proven:

HT2008:
1
För att visa förändring över tid används index. År 1950 (index = 100) hade Stockholms kommun 745 936 invånare. Hur många fler invånare hade Stockholms kommun år 2000 än år 1950?

(1)
År 2000 var indextalet för antalet invånare i Stockholms kommun 100,59.
(2)
År 2000 hade Stockholms kommun 750 337 invånare.
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
HT2008:1 Svar:D

VT2008:

8
För att visa förändring över tid används index. År 1980 (prisindex = 100) kostade en vara 250 kronor. Hur mycket dyrare i kronor var varan år 2000 än år 1990?

(1)
Från år 1980 till år 2000 ökade varans prisindex med 460 enheter.
(2)
År 1980 var prisindex för varan 1/4 av vad det var år 1990. År 2000 var varans
prisindex 560.
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
VT2008:8 Svar:B

HT2007:

2
För att visa förändring över tid används index. År 1962 kostade en biobiljett
2,50 kronor. Hur mycket mer kostade en biobiljett år 1998 än år 1990?

(1)
År 1990 var index för en biobiljett 22 gånger så stort som år 1962 (index = 100).
(2)
År 1998 var index för en biobiljett 600 enheter större än år 1990.
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
HT2007:2 Svar:C

Vad är index för något? Som exempel kan vi ta en bok som säljs i en bokhandel. År 2004 kostar boken 400kr. 2005 kostar boken 500kr och 2006 kostar boken 600kr. Om vi skulle diskutera hur priset har förändrats skulle vi alltså kunna säga att priset har ökat med 100kr varje år. Att bokens pris ökat med 100kr säger egentligen inte så mycket om vi inte vet vad den kostade från början. Om det t.ex. varit en bil så hade 100kr varit en väldigt liten förändring jämfört med bilens ursprungliga pris. För att lösa det problemet kan man använda index istället för pris.

Index fungerar så att i stället för att titta på hur priset ändras från år till år kan man titta på hur index ändras från år till år. Index är ett tal som sätts till 100 från början. Det ska motsvara vad boken kostade från början, dvs 400kr. När sedan boken ökar till 500kr så ökar index med samma förhållande till 125. När boken ökat till 600kr har index ökat till 150. Att förhållandet är detsamma hela tiden kan man se från att 400/100 = 500/125 = 600/150. Här kan man också se det i figuren.

Fördelen med index är att det är lättare att avgöra hur stor eller liten förändringen är. Ett bra exempel är Stockholmsbörsen. För att bestämma om börsen går upp eller ner tittar man på ett 100-tal stora kända svenska företag och räknar ut det sammanlagda värdet av deras aktier. Detta värde blir ganska stort, runt omkring 400000 kr. Istället för att behöva säga att "i januari låg börsvärdet på 423500, och i februari har det gått upp till 487900", så är det lättare att säga att "i januari låg börsindex på 100 och i februari var börsindex 108". Med index blir siffrorna mer lätthanterliga och det går lättare att avgöra hur stor förändringen är.

Om index-uppgifterna på högskoleprovet Uppgifterna brukar oftast handla om någon vara som ändrats i pris, men kan t.ex. också handla om befolkningsantal som i HT2008. Det brukar oftast vara 3 st olika år som jämförs, t.ex. 1962, 1990 och 1998, men kan också vara bara 2 år som i HT2008. Som index=100 väljs i stort sett alltid det första året, även fast man skulle kunna välja andra år.

Hur man löser index-uppgifterna
En bra idé är att försöka se om det går att lista ut förhållandet mellan värdet och index. Har man väl hittat ett år där man vet både värdet och index så kan man räkna ut förhållandet. I de tre uppgifterna får vi direkt veta förhållandet. I HT2008 får vi veta att index=100 motsvarar 745936 invånare. I VT2008 får vi veta index=100 motsvarar 250kr, och i HT2007 får vi veta att index=100 motsvarar 2,50kr.
När vi väl känner till förhållandet kan vi utifrån ett index bestämma priset, och vice versa utifrån ett pris kan vi bestämma index.

Exempel: Vi tittar på uppgiften från HT2007 med (1) tillsammans med (2). Vi ska besvara hur mycket mer en biobiljett kostade 1998 än 1990 och har följande information:

  • År 1962 kostade en biobiljett 2,50 kronor
  • År 1990 var index för en biobiljett 22 gånger så stort som 1962 (index=100)
  • År 1998 var index 600 enheter större än 1990

    Eftersom det är mycket att hålla reda på, t.ex. olika årtal, priser och index, kan det vara en bra idé att göra en tabell:

    196219901998
    100100*22100*22+600
    2,50kr  

    Vi ser nu att 1962 har vi både priset och index och kan då bestämma förhållandet. 1990 och 1998 känner vi till index. Eftersom vi känner till förhållandet mellan index och pris så kan vi alltså också bestämma priserna de åren. Således kan vi då räkna ut hur mycket mer en biobiljett kostade 1998 än 1990 som var frågan.

    Annat viktigt samband

    Vi har hittills sett ett viktigt samband, nämligen att förhållandet mellan värdet och index alltid är detsamma. För till exempel boken var förhållandet alltid 4.

    Ett annat viktigt samband är att ökningen av värde och index mellan två år alltid sker med samma faktor. Figuren här nere visar att när t.ex. värdet ökar med 1,2 gånger från 1998 till 1999, så ökar också index med samma faktor 1,2. Detta gäller mellan alla åren.


    Exempel: Index för en vara ökar med 30%. Med hur många procent ökar värdet? Svar: Ökningen sker med samma faktor, alltså 30%.

    Exempel: Index för en vara sänks med 1/3. Med hur stor del sänks värdet? Svar: Sänkningen sker med samma faktor, alltså 1/3.

    Ett icke-samband som är bra att känna till

    I index-uppgifterna kan det även dyka upp situationer där två saker kan verka ha ett samband, men som inte har det. Här är ett exempel på ett sådant icke-samband som kan vara bra att känna till:

    Exempel: Titta igen på uppgiften från HT2007, denna gång med enbart informationen från (2). Frågan vi ska besvara är hur mycket mer en biobiljett kostade 1998 än 1990.

  • År 1962 kostade en biobiljett 2,50 kronor
  • År 1998 var index 600 enheter större än 1990

    Vi får veta att 1998 var index 600 enheter mer än 1990. Räcker det för att veta hur mycket mer priset var i kronor 1998 än 1990 som är frågan? Nej, det finns inget sådant direkt samband. Vi hade även behövt känna till förhållandet mellan indexenheter och kronor.