Tillbaka till kursens huvudsida
Träna på provuppgifter med räta linjen

Den räta linjens ekvation

En av uppgifterna på NOG-delen handlar alltid om den s.k. räta linjens ekvation. Man brukar känna igen en sådan uppgift med att den börjar med meningen "En rät linjes ekvation kan skrivas som y = kx + m, där k är riktningskoefficienten och m är konstanttermen". Här är de tre uppgifterna från de tre senaste proven. Notera att uppgiften från VT2008 inte börjar med meningen "En rät linjes ekvation.." , men den handlar fortfarande om en rät linje.

HT2008:

18
En rät linjes ekvation kan skrivas y = kx + m, där k är riktningskoefficient och m är konstantterm. Vilket värde har m?

(1)
Det är lika långt avstånd mellan origo och punkten (0, m) som det är mellan punkten (0, m) och den punkt där linjen y = kx + 6,5 skär y-axeln.
(2)
Linjen y = kx + m är parallell med linjen y = –2x + 1.
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
HT2008:18 Svar:A

VT2008:

21
Figuren visar en rät linje med riktningskoefficienten k. Punkterna A,B och C ligger på denna linje. Avståndet mellan A och B är samma som avståndet mellan B och C. Hur många längdenheter är sträckan AC?



(1)
Punkterna A och B har koordinaterna (3,4) respektive (6,6).
(2)
Punkten C har koordinaterna (9,8) och linjen har riktningskoefficienten k=2/3.
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
VT2008:21 Svar:A

HT2007:

19
En rät linjes ekvation kan skrivas som y = kx + m, där k är riktningskoefficienten och m är konstanttermen. Linjen går genom punkten (0, 3). Bestäm linjens ekvation.


(1)
Den sökta linjen skär linjen y = 2x
(2)
Den sökta linjen är parallell med linjen y = –2x
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
HT2007:19 Svar:B

Vad är ett koordinatsystem?
För att förstå vad den räta linjens ekvation är, måste du först förstå vad ett koordinatsystem är. Ett koordinatsystem består av två axlar, y-axeln som pekar uppåt och x-axeln som pekar åt sidan. Axlarna är försedda med små streck som på en linjal.


Det är vanligt att man sätter ut punkter i koordinatsystemet. I nedanstående figur har jag satt ut tre punkter, A, B och C.


För att beskriva för någon var punkterna är placerade kan jag tala om deras koordinater. Till exempel har punkten A koordinaterna (0,3), punkten B (2,-1) och punkten C (4,2). Koordinaterna fungerar så att det första talet är x-koordinaten och talar om punktens placering i x-led, och det andra talet är y-koordinaten och talar om punktens placering i y-led.

origo kallas den speciella punkten där x-axeln och y-axeln skär varandra. Origo har koordinaterna (0,0).

Vad är den räta linjens ekvation?
Utöver punkter, är det vanligt att man sätter in linjer i ett koordinatsystem. Här nedan har jag satt ut tre linjer:

För att säga hur linjen är placerad i koordinatsystemet kan jag tala om dess ekvation, till exempel y=0,5x+1. Ekvationen talar om sambandet mellan x och y på linjen. Alla punkter som ligger på linjen, har x- och y-koordinater som uppfyller ekvationen. Om man ritade ut flera sådana punkter så skulle man kunna se var linjen gick. En linjes ekvation kan alltid skrivas på följande form och kallas för den räta linjens ekvation:

y = kx + m

Talen k och m
I den räta linjens ekvation kallas k för riktningskoefficienten och m för konstanttermen. k och m har speciella egenskaper som påverkar hur linjen ser ut, och är bra att kunna på högskoleprovet. k har egenskapen att den påverkar linjens riktning, dvs hur den lutar. k räknas ut genom att välja två valfria punkter på linjen och dela avståndet i y-led med avståndet i x-led. m har egenskapen att den påverkar linjens höjd. m är mer exakt var linjen skär y-axeln. Det illustreras i följande figur:

Exempel: Två punkter med koordinaterna (1,4) och (2,2) ligger på en linje. Vilken riktningskoefficient har linjen? Svar: k = avståndet i y-led delat med avståndet i x-led = (4-2)/(1-2) = 2/(-1) = -2.

Exempel: En linje skär y-axeln i punkten (0,3). Vilken konstantterm har linjen? Svar: Konstanttermen motsvarar var linjen skär y-axeln, alltså m = 3.

Vad krävs för att bestämma en linje?
Det finns några olika alternativ för att en linje ska vara helt bestämd.
1) En punkt (x,y) och linjens riktningskoefficient k. Då kan vi stoppa in k, x- och y-koordinaten i den räta linjens ekvation y=kx+m och lösa ut m.
2) Två punkter (x1,y1) och (x2,y2). Då kan vi räkna ut riktningskoefficienten som (y1-y2)/(x1-x2). Och sedan kan vi räkna ut m som ovan.

Två linjer som skär varandra
Förutsatt att två linjer inte är parallella så kommer de skära varandra i någon punkt.

För att ta reda på koordinaterna för skärningspunkten kan man ställa upp ekvationssystemet med de två linjernas ekvationer:

  • y=k1x+m1
  • y=k2x+m2
    Vi har två ekvationer och två variabler x och y, och följaktligen kan vi bestämma skärningspunktens koordinater x och y.

    Parallella linjer
    Två parallella linjer har egenskapen att de har samma riktningskoefficient k. Det sambandet är bra och känna till på högskoleprovet. Om du vet den ena linjens riktningskoefficient kan du alltså också bestämma den andra linjens riktningskoefficient.

    Exempel: Titta på uppgiften från HT2007, se ovan, med (2) för sig: En rät linjes ekvation kan skrivas som y = kx + m, där k är riktningskoefficienten och m är konstanttermen. Linjen går genom punkten (0, 3). Den sökta linjen är parallell med linjen y = -2x. Bestäm linjens ekvation.
    Svar: Att bestämma linjens ekvationen innebär att vi måste bestämma både k och m. Eftersom linjen är parallell med linjen y=-2x så är k = -2. För att bestämma m kan vi använda den räta linjens ekvation y=kx+m och stoppa in värdena för k och x- och y-koordinaterna för punkten (0,3). Det ger 3=-2*0+m som ger m = 3. Linjens ekvation är alltså y=-2x+3.

    Avstånd mellan två punkter
    Att bestämma avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem har förekommit flitigt på de senaste högskoleproven. Avståndet kan bestämmas med hjälp av Pythagaros sats, som är en formel som kommer från geometrin.

    (avstånd)2=(avstånd i x-led)2+(avstånd i y-led)2

    Exempel: Bestäm avståndet mellan punkterna (3,4) och (7,7). Svar: Avståndet är roten ur (7-4)2+(7-3)2 = 5.

    Exempel: Titta på uppgiften från VT2008 med (1) för sig: Figuren visar en rät linje med riktningskoefficienten k. Punkterna A,B och C ligger på denna linje. Avståndet mellan A och B är samma som avståndet mellan B och C. Punkterna A och B har koordinaterna (3,4) respektive (6,6). Hur många längdenheter är sträckan AC?
    Svar: Avståndet mellan A och B är roten ur (6-4)2+(6-3)2 = roten ur 13. Avståndet mellan A och C är dubbla detta avstånd, alltså 2 gånger roten ur 13.

    Begreppet "avtar linjärt med"
    Begreppet "ökar linjärt med" eller "avtar linjärt med" förekommer ibland på högskoleprovet. Här är en sådan uppgift från HT2008:

    10
    Ett provrör är fyllt med en viss vätska, där mängden vätska avtar linjärt med tiden. Hur stor andel av vätskan finns kvar i provröret efter tre dygn?

    (1)
    Efter åtta dygn återstår femtio procent av vätskan.
    (2)
    Efter fyra dygn återstår 20 ml av vätskan.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2008:10 Svar:A

    Att mängden vätska avtar linjärt med tiden betyder att sambandet mellan vätskan och tiden kan beskrivas med en rät linje. Det som är bra med det är att vi bara behöver bestämma var linjen är så är hela sambandet bestämt. Och om hela sambandet är bestämt så kan vi räkna ut mängden vätska för vilket dygn som helst, exempelvis dygn 3. Kan vi med (1) för sig bestämma var linjen är. Ja, eftersom vi känner till två punkter: att 100% återstår vid dygn 0, och att 50% återstår vid dygn 8.

    Kan vi med (2) för sig bestämma var linjen är. Nej, vi känner bara till en av punkterna, att 20ml återstår efter 4 dygn. Men vi vet t.ex. inte hur mycket som fanns från början. Rätt svar på uppgiften är alltså A.

    Begreppet "proportionell mot"
    Begreppet "proportionell mot" förekommer också ibland på högskoleprovet. Här är en sådan uppgift från HT2007:

    10
    På en avgiftsbelagd väg betalar man en avgift som är direkt proportionell mot hur långt man färdas på vägen. Vad kostar det att köra 150 km på vägen?

    (1)
    Att köra 80 km på vägen kostar 72 kronor.
    (2)
    Om man har betalat 162 kronor så får man köra 100 km längre än om man har betalat 72 kornor.
    Tillräcklig information för lösningen erhålls

    A i (1) men ej i (2)
    B i (2) men ej i (1)
    C i (1) tillsammans med (2)
    D i (1) och (2) var för sig
    E ej genom de båda påståendena
    HT2007:10 Svar:D

    Att avgiften är proportionell mot hur långt man färdas betyder också, precis som med begreppet "ökar linjärt med", att sambandet mellan avgiften och hur långt man färdas kan beskrivas med en rät linje. Till skillnad från begreppet "ökar linjärt med" går denna linje alltid genom origo. Det beror på att två saker som är proportionella mot varandra alltid har samma förhållande. Det kan alltså inte förekomma någon konstantterm m. Då räcker det med att vi känner en punkt för att kunna bestämma hela linjen och därmed hela sambandet. Med (1) för sig får vi veta en sådan punkt: (80km,72kr). Med (2) för sig får vi inte veta någon punkt men däremot att förhållandet är 110kr för 100km vilket räcker för att bestämma linjens lutning och därmed hela linjen.

    Rätt svar på uppgiften är alltså D.