Tillbaka till kursens huvudsida
Träna på provuppgifter med sannolikhet

Sannolikhet

En av uppgifterna på NOG-delen handlar alltid om sannolikhet. Här är de tre uppgifterna från de tre senaste årens högskoleprov:

HT2008:
12
I ett syskrin har Reza sammanlagt 30 virk- och sticknålar. Vad är sannolikheten att Reza tar upp en virknål om han tar en nål slumpmässigt?

(1)
Sannolikheten att ta upp en sticknål är 0,4.
(2)
Om man plockar bort sex sticknålar så är sannolikheten att ta upp en virknål 0,75.
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
HT2008:12 Svar:D

VT2008:

16
Lina har en låda med enbart strumppar. Varje strumppar har en unik färg. Lina tar slumpmässigt två stycken strumpor ur lådan. Hur stor är sannolikheten att strumporna har samma färg?

(1)
Lina har sex strumppar i lådan.
(2)
Om man tar bort två strumppar ur lådan, så skulle sannolikheten bli 1/7 att hon får två strumpor i samma färg.
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
VT2008:16 Svar:D

HT2007:

13
På en strand finns endast vita, svarta och grå stenar. Vad är sannolikheten att man får en vit sten om man tar upp en sten slumpmässigt?

(1)
Sannolikheten att ta upp en grå eller en vit sten är 0,7.
(2)
Sannolikheten att ta upp en svart eller en vit sten är 0,5.
Tillräcklig information för lösningen erhålls

A i (1) men ej i (2)
B i (2) men ej i (1)
C i (1) tillsammans med (2)
D i (1) och (2) var för sig
E ej genom de båda påståendena
HT2007:13 Svar:C

Vad är sannolikhet? Sannolikhet är det samma som hur stor chans något har för att inträffa. Föreställ dig att du har en urna med vita, svarta och gråa kulor i. Det finns 8 kulor i urnan, varav 2 vita, 3 svarta och 3 gråa kulor. Du tar en kula slumpmässigt utan att veta vilken det blir. Hur stor chans är det att du får en vit kula? Jo, chansen är 2 på 8. Det beror på att det finns 2 vita kulor av totalt 8 möjliga kulor att välja. Om vi använder begreppet sannolikhet i stället så är sannolikheten att plocka en vit kula 2/8 vilket är det samma som 1/4. De olika sannolikheterna för att plocka en vit, svart eller grå kula kan illustreras så här:

Hur räknar man ut sannolikheten? Sannolikheten räknas ut genom att räkna antal fall där händelsen inträffar och dela med totalt antal möjliga fall. Om vi betecknar p som sannolikheten, a som antal fall där händelsen inträffar och s som summan av alla möjliga fall, så blir formeln

p = a/s

Exempel: En tändsticksask innehåller 4 röda och 2 svarta tändstickor. Hur stor är sannolikheten att slumpmässigt plocka en röd tändsticka? Svar: I 4 fall av 6 får man en röd tändsticka. Sannolikheten är alltså p = 4/6 = 2/3.

Exempel: Ett snurrande lottohjul har 12 fält med talen 1 till 12. Hur stor är sannolikheten att talet blir minst 10? Svar: Vi har 3 möjliga fall 10,11 och 12 av totalt 12 möjliga fall. Sannolikheten är alltså p = 3/12 = 1/4.

Ett viktigt icke-samband. Det är lätt att bli lurad att om man vet sannolikheten att plocka en svart kula är 3/8, att man då också vet att det finns 3 svarta kulor och totalt 8 kulor. Ett sådant direkt samband finns dock inte. 3/8 kan motsvara 3 svarta av 8 kulor, men det kan också motsvara 6 svarta av 16 kulor eftersom 6/16=3/8.

Exempel: Ur en låda med gula och gröna bollar är sannolikheten att slumpmässigt plocka en gul boll 4/7. Hur många gula bollar finns det i lådan? Svar: Lösningen går inte att bestämma.

Sannolikheten att ta antingen en vit eller svart kula? Om sannolikheten är 2/8 att ta en vit kula och 3/8 att ta en svart kula, så är sannolikheten att någon av händelserna inträffar summan av respektive händelser, dvs 2/8 + 3/8 = 5/8. Det kan vi skriva som en formel:

p1 eller 2 = p1 + p2

Exempel: I en tuggummi-maskin finns gröna, rosa och vita tuggummin. Sannolikheten att få ett grönt tuggummi är 2/5 och sannolikheten att få ett vitt tuggummi är 1/10. Hur stor är sannolikheten att få ett grönt eller vitt tuggummi? Svar: p = 2/5 + 1/10 = 4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2.

Summan av alla sannolikheter är 1. Om vi betraktar figuren med urnan igen så ser vi att summan av alla sannolikheterna blir 2/8 + 3/8 + 3/8 = 1. Allmännt gäller att summan av sannolikheterna för alla händelser som kan inträffa i en situation är 1. Det är logiskt eftersom någon av händelserna alltid måste inträffa, därav sannolikheten 1.

Komplementhändelser. Att summan av alla sannolikheter är 1 kan man utnyttja för att beräkna sannolikheten att något inte ska hända. Om sannolikheten att plocka en svart kula är 3/8 så är sannolikheten att inte plocka en svart kula 1-3/8=5/8. En sådan händelse kallas för komplementhändelse och räknas ut med formeln

pej = 1 - p

Exempel: Vi tittar på uppgiften från HT2008, se ovan, med (1) för sig. I ett syskrin har Reza sammanlagt 30 virk- och sticknålar. Sannolikheten att ta upp en sticknål är 0,4. Vad är sannolikheten att Reza tar upp en virknål om har tar en nål slumpmässigt? Svar: Sannolikheten att ta upp en virknål är detsamma som att inte ta upp en sticknål, alltså p = 1 - 0,4 = 0,6.

Exempel: Vi tittar på uppgiften från HT2007 med (1) och (2) tillsammans. På en strand finns endast vita, svarta och grå stenar. Sannolikheten att ta upp en grå eller en vit sten är 0,7. Sannolikheten att ta upp en svart eller vit sten är 0,5. Vad är sannolikheten att man får en vit sten om man tar upp en sten slumpmässigt. Svar: Om sannolikheten att plocka upp en grå eller vit sten är 0,7 så är att plocka en svart sten en komplementhändelse som har sannolikheten 1-0,7=0,3. Om sannolikheten att plocka en svart eller vit sten är 0,5 så måste sannolikheten att plocka en vit sten vara 0,2 eftersom 0,2+0,3=0,5.

Sannolikheten att ta två vita kulor? Att ta två vita kulor motsvarar två händelser på varandra: att först ta en vit kula och sedan ta en vit kula till. Om vi utgår från vårt första exempel, så har den första vita kulan sannolikheten 2/8. Vilken sannolikheten har den andra vita kulan? Jo, 1/7, eftersom det då bara finns 1 vit kula kvar och totalt 7 kulor kvar. Vad blir då den sammanlagda sannolikheten att båda händelser inträffar efter varandra? Jo, produkten av händelsernas sannolikhet, alltså 2/8*1/7=2/56. Det kan illustreras med följande figur:

Vi sammanfattar att om p1 och p2 är sannolikheterna för två på varandra följande händelser så är deras sammanlagda sannolikhet:

p1 och 2 = p1 * p2

Exempel: I en bokhylla finns 20 blåa och 5 röda böcker. Vad är sannolikheten att slumpmässigt ta två blåa böcker ur bokhyllan. Svar: sannolikheten att den första boken är blå är 20/25. Sannolikheten att den andra boken är blå är 19/24 eftersom en blå bok är borttagen. Deras sammanlagda sannolikhet blir 20/25*19/24= 380/600 = 19/30.

Notera: Det är alltså viktigt att man tar hänsyn till att den första händelsen redan inträffat när man bestämmer sannolikheten för den andra händelsen. Att sannolikheten att ta två vita kulor från en urna är 2/8*2/8 är alltså fel. Hade vi däremot haft två identiska urnor bredvid varandra och skulle tagit en vit kula från vardera urna, då hade sannolikheten varit 2/8*2/8. Det beror på att plockningen från den första urnan inte påverkade den andra urnan.

Sannolikheten att ta en kula av vardera färg? Att ta två kulor av vardera färg skiljer sig från att ta två kulor av samma färg. Det beror på att det finns två alternativ: att den första är vit och den andra är svart eller att den första är svart och den andra vit. Här hjälper det att tänka sig ett s.k. sannolikhetsträd:

I exemplet har vi från början 2 vita och 3 svarta kulor. Det finns 4 möjliga vägar ner genom sannolikhetsträdet. Sannolikheten för varje väg kan beräknas som vanligt genom att ta produkten av den första sannolikheten med den andra sannolikheten. Vi ser att i två av vägarna tar man en kula av varje färg, de två mittre vägarna. Summan av deras sannolikhet är 6/20+6/20. Alltså är sannolikheten att välja en kula av varje färg 12/20.

Exempel: Vi tittar på uppgiften från VT2008 med (1) för sig: Lina har en låda med enbart strumppar. Varje strumppar har en unik färg. Lina tar slumpmässigt två stycken strumpor ur lådan. Lina har sex strumppar i lådan. Vad är sannolikheten att strumporna har samma färg? Svar: Lina ska alltså ta 2 strumpor av totalt 12. Om man skulle rita ett sannolikhetsträd så skulle varje val ha 6 förgreningar, en för varje färg, och totalt skulle det finnas 6*6=36 vägar. I 6 av dessa vägar skulle Lina ha valt strumpor av samma färg. Genom att räkna ut summan av dessa 6 vägars sannolikhet skulle vi alltså kunna bestämma sannolikheten att strumporna har samma färg. Sannolikheten blir 6 * 2/12 * 1/11 = 12/132 = 1/11. Detta hade också kunnat bestämmas utan ett sannolikhetsträd. Om Lina tagit en strumpa så är den andra strumpan av samma färg 1 av totalt 11 strumpor kvar.

Ett samband eller icke-samband? Om man vet sannolikheten att plocka två vita kulor, går det då att bestämma hur många vita och totalt antal kulor man har från början? Om vi t.ex har 2 vita kulor och en svart kula så är sannolikheten att plocka två vita kulor 2/3 * 1/2 = 2/6 = 1/3. Kan det finnas andra uppsättningar vita och svarta kulor som ger samma sannolikhet 1/3? Detta är svårare att avgöra än fallet med en vit kula. Efter mycket testande har jag lyckats hitta en uppsättning till: 6 vita och 4 svarta kulor. Sannolikheten blir då 6/10 * 5/9 = 30/90 = 1/3, alltså samma sannolikhet. Om sannolikheten är 1/3 att plocka två vita kulor går det alltså inte att bestämma antal vita och totalt antal kulor från början. Hur är det då med andra sannolikheter än 1/3? Detta vet jag fortfarande inte.