1.    Låt
f
x
=
2
x
+
3
och
g
x
=
2
x
+
2
. Vad blir
f
g
4
?
A
25
B
23
C
27
D
13

2.    Beräkna följande bråkuttryck:
2
5
2
8
A
1
B
4
13
C
8
5
D
1
10

3.    Förenkla följande uttryck:
6
10
6
3
A
6
30
B
36
30
C
12
30
D
36
13

4.    Beräkna följande rotuttryck:
57
19
A
3
B
3
C
7
D
2

5.    Beräkna följande bråkuttryck:
8
8
6
3
A
2
B
14
11
C
48
11
D
1
2

6.    Förenkla följande uttryck:
4
8
4
A
32
4
B
8
16
C
4
32
D
12
4

7.    En urna innehåller 6 svarta kulor och 9 vita kulor. En kula tas slumpmässigt från urnan, stoppas tillbaka, varpå en ny kula tas slumpmässigt från urnan. Vad är sannolikheten att båda kulor är svarta?
A
4
25
B
1
25
C
4
5
D
2
25

8.    Förkorta följande bråk så långt som möjligt:
27
49
A
3
5
B
27
49
C
5
8
D
54
98

9.    Lös följande enkla ekvation:
4
x
+
8
=
24
A
6
B
3
C
7
D
4

10.    Vilken ekvation beskriver nedanstående räta linje

A
y
=
2
x
+
3
B
y
=
x
+
2
C
y
=
3
x
+
2
D
y
=
x
3
+
2

11.    Förenkla följande uttryck:
9
6
4
A
4
10
B
9
24
C
4
54
D
54
4

12.    Förenkla följande uttryck:
8
7
5
A
5
12
B
5
15
C
56
5
D
8
35

13.    Kan du multiplikationstabellen? Vad blir
20
4
?
A
6
B
5
C
4
D
7

14.    Kan du multiplikationstabellen? Vad blir
8
9
?
A
63
B
72
C
64
D
17

15.    Beräkna följande uttryck:
1
5
32
A
160
B
32
C
2
D
1
32

16.    Beräkna följande uttryck:
1
5
32
A
160
B
1
32
C
2
D
2

17.    Beräkna följande bråkuttryck:
5
4
4
6
A
5
6
B
9
10
C
15
8
D
1

18.    Lös följande enkla ekvation:
5
x
+
8
=
43
A
5
B
2
C
7
D
4

19.    Beräkna följande bråkuttryck:
8
7
2
4
A
16
7
B
7
C
4
7
D
5
2

20.    Beräkna följande bråkuttryck:
7
9
8
3
A
56
27
B
21
8
C
7
24
D
16
11
FACIT

1B 2D
3A 4A
5A 6A
7A 8B
9D 10C
11D 12C
13B 14B
15C 16C
17C 18C
19A 20C
LÖSNINGAR


1   Låt
f
x
=
2
x
+
3
och
g
x
=
2
x
+
2
. Vad blir
f
g
4
?
Svar B)
23


Lösning:
Man kan likna funktioner med en svart låda, se bilden nedan. x är det som man stoppar in i lådan, s.k. input, f är själva lådan som gör något med input, och f(x) är det som kommer ut, s.k. output.
I vårt fall har vi två funktioner f och g. De är kopplade som i en kedja. Det som kommer ut från g går in direkt i f. Vi börjar med att beräkna det som kommer ut från g:

g
4
=
2
x
+
2
=
2
4
+
2
=
8
+
2
=
10


Det som kom ut från g blev alltså 10. Stoppa i sin tur detta värde i funktionen f:

f
10
=
2
x
+
3
=
2
10
+
3
=
20
+
3
=
23



2   Beräkna följande bråkuttryck:
2
5
2
8

Svar D)
1
10


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk multiplicerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt.
2
5
2
8
=
2
5
1
4


För att nu multiplicera bråken med varandra, så multiplicerar man täljarna för sig och nämnarna för sig
2
5
1
4
=
2
1
5
4
=
2
20
=
1
10

3   Förenkla följande uttryck:
6
10
6
3

Svar A)
6
30


Lösning:
Detta uttryck är en potens gånger en annan potens. Det kan förenklas om potenserna har samma bas eller om de har samma exponent. I detta fall har potenserna samma exponent (6) och då kan man helt enkelt multiplicera baserna och sätta dem under samma exponent:
6
10
6
3
=
6
10
3
=
6
30

4   Beräkna följande rotuttryck:
57
19

Svar A)
3


Lösning:
Om man har ett rotuttryck delat med ett annat rotuttryck så kan man sätta rottecknet runt hela bråket:
57
19
=
57
19
=
3

5   Beräkna följande bråkuttryck:
8
8
6
3

Svar A)
2


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk multiplicerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt.I det här fallet kunde båda bråk förkortas till heltal. Vi får därför ut svaret direkt:
8
8
6
3
=
1
2
=
2

6   Förenkla följande uttryck:
4
8
4

Svar A)
32
4


Lösning:
Detta är ett uttryck upphöjt i två steg. Det kan man förenkla genom att helt enkelt multiplicera exponenterna med varandra:
4
8
4
=
8
4
4
=
32
4

7   En urna innehåller 6 svarta kulor och 9 vita kulor. En kula tas slumpmässigt från urnan, stoppas tillbaka, varpå en ny kula tas slumpmässigt från urnan. Vad är sannolikheten att båda kulor är svarta?
Svar A)
4
25


Lösning:
I denna uppgift har vi två händelser:
1) Att den första kulan är svart
2) Att den andra kulan är svart

Vi ska bestämman sannolikheten att båda dessa händelser inträffar.
När man bestämmer sannolikheten för att en händelse och en annan händelse ska inträffa måste man ta hänsyn till om händelserna är beroende eller oberoende av varandra, se tabellen nedan:

Oberoende händelser
p
1 och 2
=
p
1
p
2
Beroende händelser
p
1 och 2
=
p
1
p
2
1

Förklaring:
p
2
1
kallas den betingade sannolikheten, och uttalas sannolikheten för händelse 2 givet att händelse 1 redan inträffat. Men i det här fallet är sannolikheten för händelse 2 oberoende av händelse 1 eftersom vi stoppar tillbaks den första kula, så därför ska vi använda den vänstra formeln:

p
1 och 2
=
p
1
p
2
=
svarta
totalt
svarta
totalt
=
6
15
6
15
=
6
3
15
3
6
3
15
3
=
2
5
2
5
=
2
2
5
5
=
4
25


8   Förkorta följande bråk så långt som möjligt:
27
49

Svar B)
27
49


Lösning:
Försök bestämma den största gemensamma delaren (sgd) mellan täljaren och nämnaren. Det är det största talet som går jämnt upp i både täljare och nämnare. I vårt fall är sgd = 1. Dvs det finns ingen delare större än 1 och därför kan bråket inte förkortas mer. Rätt svar är alltså
27
49

9   Lös följande enkla ekvation:
4
x
+
8
=
24

Svar D)
4


Lösning:
Det vi ska göra är att lösa en s.k. ekvation. Det går ut på att hitta det värde för variabeln, i vårt fall bokstaven x, i ekvationen så att likheten uppfylls. För att lösa ekvationen så vill vi isolera variabeln för sig självt. För att isolera variabeln så kan vi utföra olika opertioner, så länge vi utför samma operation på båda sidor. I det här fallet så subtraherar vi först båda sidor med 8:

4
x
+
8
8
=
24
8
,
4
x
=
24
8
,
4
x
=
16


Dividera sedan båda sidor med 4:

4
x
4
=
16
4
,
x
=
16
4
,
x
=
4


Vi har nu lyckats isolera x på ena sidan och kan alltså läsa av svaret på andra sidan, nämligen 4


10   Vilken ekvation beskriver nedanstående räta linje


Svar C)
y
=
3
x
+
2


Lösning:
Detta är ett koordinatsystem med en rät linje. En rät linje kan beskrivas med den s.k. räta linjens ekvation. Den ser ut så här: y = kx + m. m anger var linjen skär y-axeln. I vårt fall måste m alltså vara 2. k anger linjens lutning, mer exakt hur mycket linjen förflyttar sig i y-led när den flyttar ett steg åt vänster i x-led. I vårt fall måste k då vara
3
. Rätt svar på uppgiften måste alltså vara C)
y
=
3
x
+
2
.
11   Förenkla följande uttryck:
9
6
4

Svar D)
54
4


Lösning:
Detta är ett uttryck upphöjt i två steg. Det kan man förenkla genom att helt enkelt multiplicera exponenterna med varandra:
9
6
4
=
6
9
4
=
54
4

12   Förenkla följande uttryck:
8
7
5

Svar C)
56
5


Lösning:
Detta är ett uttryck upphöjt i två steg. Det kan man förenkla genom att helt enkelt multiplicera exponenterna med varandra:
8
7
5
=
7
8
5
=
56
5

13   Kan du multiplikationstabellen? Vad blir
20
4
?
Svar B)
5


Lösning:
Det är bra att lära sig multiplikationstabellen utantill, se nedan. För att räkna ut
20
4
så kollar vi på rad 4, och går åt höger tills vi hittar 20. Därifrån går vi upp tills vi hittar vilken kolumn det är, i det här fallet 5
 12345678910
112345678910
22468101214161820
336912151821242730
4481216202428323640
55101520253035404550
66121824303642485460
77142128354249566370
88162432404856647280
99182736455463728190
10102030405060708090100

14   Kan du multiplikationstabellen? Vad blir
8
9
?
Svar B)
72


Lösning:
Det är bra att lära sig multiplikationstabellen utantill, se nedan. För att räkna ut
8
9
så kollar vi på rad 8, kolumn 9 i tabellen. Där hittar vi 72 som alltså är svaret
 12345678910
112345678910
22468101214161820
336912151821242730
4481216202428323640
55101520253035404550
66121824303642485460
77142128354249566370
88162432404856647280
99182736455463728190
10102030405060708090100

15   Beräkna följande uttryck:
1
5
32

Svar C)
2


Lösning:
Ett tal upphöjt i 1/n är samma sak som n:te roten av det talet, alltså:
1
5
32
=
5
32

Detta uttryck uttalas femteroten ur 32. Det betyder att vi söker det tal som gånger sig självt 5 gånger blir 32. Rätt svar måste därför vara 2 eftersom
2
2
2
2
2
=
32

16   Beräkna följande uttryck:
1
5
32

Svar C)
2


Lösning:
Ett tal upphöjt i 1/n är samma sak som n:te roten av det talet, alltså:
1
5
32
=
5
32

Detta uttryck uttalas femteroten ur -32. Det betyder att vi söker det tal som gånger sig självt 5 gånger blir -32. Rätt svar måste därför vara -2 eftersom
2
2
2
2
2
=
32


Notera att till skillnad från kvadratroten, fjärderoten och sjätteroten, så kan kubikroten och femteroten även bli negativa tal, om uttrycket under rottecknet är negativt, som i det här fallet: -32
17   Beräkna följande bråkuttryck:
5
4
4
6

Svar C)
15
8


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk dividerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt.
5
4
4
6
=
5
4
2
3


För att nu utföra divisionen så för man upp det undre bråket täljare i det övre bråkets nämnare, och vice versa det undre bråkets nämnare i det övre bråkets täljare
5
4
2
3
=
5
3
4
2
=
15
8

18   Lös följande enkla ekvation:
5
x
+
8
=
43

Svar C)
7


Lösning:
Det vi ska göra är att lösa en s.k. ekvation. Det går ut på att hitta det värde för variabeln, i vårt fall bokstaven x, i ekvationen så att likheten uppfylls. För att lösa ekvationen så vill vi isolera variabeln för sig självt. För att isolera variabeln så kan vi utföra olika opertioner, så länge vi utför samma operation på båda sidor. I det här fallet så subtraherar vi först båda sidor med 8:

5
x
+
8
8
=
43
8
,
5
x
=
43
8
,
5
x
=
35


Dividera sedan båda sidor med 5:

5
x
5
=
35
5
,
x
=
35
5
,
x
=
7


Vi har nu lyckats isolera x på ena sidan och kan alltså läsa av svaret på andra sidan, nämligen 7


19   Beräkna följande bråkuttryck:
8
7
2
4

Svar A)
16
7


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk dividerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt.
8
7
2
4
=
8
7
1
2


För att nu utföra divisionen så för man upp det undre bråket täljare i det övre bråkets nämnare, och vice versa det undre bråkets nämnare i det övre bråkets täljare
8
7
1
2
=
8
2
7
1
=
16
7

20   Beräkna följande bråkuttryck:
7
9
8
3

Svar C)
7
24


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk dividerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt. I det här fallet gick det inte att förkorta något av bråken

För att nu utföra divisionen så för man upp det undre bråket täljare i det övre bråkets nämnare, och vice versa det undre bråkets nämnare i det övre bråkets täljare
7
9
8
3
=
7
3
9
8
=
21
72
=
7
24