1.    Beräkna följande rotuttryck:
2
8
A
4
B
8
C
95
D
5

2.    Beräkna följande rotuttryck:
37
2
A
74
B
39
C
8
D
74

3.    Vad kan sägas om lösningen till följande ekvationssystem:

4
x
+
4
y
=
12
2
x
+
5
y
=
18

A Lösningen kan inte bestämmas
B Systemet saknar lösning
C x är positiv och y är negativ
D x är negativ och y är positiv

4.    Medelvärdet hos 15 st tal är 3. 14 av talen är 4,1,1,1,1,3,1,5,2,1,1,8,4,3,. Hur stort är det 15:e talet?
A
9
B
8
C
3
D
5

5.    Beräkna följande bråkuttryck:
7
9
1
7
+
2
3
6
3
A
6
B
58
9
C
20
3
D
52
9

6.    Utför följande svårare division:
368
8
A
46
B
43
C
42
D
96

7.    Låt
f
x
=
2
x
+
3
och
g
x
=
5
x
+
5
. Vad blir
f
g
6
?
A
73
B
67
C
79
D
69

8.    Beräkna följande bråkuttryck:
5
9
2
7
A
45
14
B
14
9
C
10
63
D
35
18

9.    Låt
f
x
=
4
x
+
2
och
g
x
=
4
x
+
5
. Vad blir
f
g
7
?
A
130
B
138
C
134
D
140

10.    Vad kan sägas om lösningen till följande ekvationssystem:

4
x
+
5
y
=
33
3
x
+
4
y
=
26

A Systemet saknar lösning
B x är negativ och y är positiv
C Både x och y är negativa
D Både x och y är positiva

11.    Medelvärdet hos 8 st tal är 4. 7 av talen är 3,6,4,3,1,8,1,. Hur stort är det 8:e talet?
A
8
B
9
C
6
D
3

12.    Betrakta nedanstående figur. VinkelnAEC är 69. Hur stor är vinkelnACE?
A
14
B
75
C
4
D
21

13.    Beräkna följande bråkuttryck:
2
9
7
8
A
9
28
B
16
63
C
7
36
D
11
15

14.    Förenkla följande uttryck:
7
8
2
A
8
14
B
15
2
C
2
56
D
56
2

15.    Låt
f
x
=
2
x
+
4
och
g
x
=
2
x
+
5
. Vad blir
f
g
6
?
A
38
B
28
C
32
D
46

16.    Vad är medelvärdet av följande tal: 5,9,6,5,8,9,9,5,4,9,8?
A
4
B
3
C
7
D
5

17.    Beräkna följande bråkuttryck:
2
4
7
6
A
7
12
B
3
7
C
2
7
D
9
10

18.    Hos vilket av följande talpar är talen relativt prima varandra?
A 2 och 6
B 2 och 8
C 8 och 9
D 3 och 9

19.    Betrakta nedanstående figur. Följande gäller: AE = 16, BD = 4 och AB = 21. Hur lång är BC?
A
15
B
7
C
1
D
9

20.    Beräkna följande bråkuttryck:
7
9
1
2
A
16
3
B
63
2
C
14
9
D
7
18
FACIT

1A 2D
3C 4A
5D 6A
7A 8D
9C 10D
11C 12D
13B 14D
15A 16C
17A 18C
19B 20C
LÖSNINGAR


1   Beräkna följande rotuttryck:
2
8

Svar A)
4


Lösning:
Om man har ett rotuttryck gånger ett annat rotuttryck så kan man sätta rottecknet runt hela produkten:
2
8
=
2
8
=
16
=
4

2   Beräkna följande rotuttryck:
37
2

Svar D)
74


Lösning:
Om man har ett rotuttryck gånger ett annat rotuttryck så kan man sätta rottecknet runt hela produkten:
37
2
=
37
2
=
74

3   Vad kan sägas om lösningen till följande ekvationssystem:

4
x
+
4
y
=
12
2
x
+
5
y
=
18

Svar C) x är positiv och y är negativ

Lösning:
Ett ekvationssystem kallas det när man har två eller fler ekvationer som måste uppfyllas samtidigt. Det gäller att hitta de värden på variablerna i systemet så att ekvationerna uppfylls. I det här fallet har vi två ekvationer samt två variabler, x och y. Det finns lite olika sätt att lösa ekvationsystem på. Här ska vi använda substitutionsmetoden som går ut på att bryta ut en variabel från den ena ekvationen och substituera in den i den andra ekvationen.

Vi börjar alltså genom att bryta ut x ur den första ekvationen:
4
x
=
12
4
y
2
x
+
5
y
=
18
x
=
12
4
y
4
2
x
+
5
y
=
18

Substituera sedan uttrycket för x in i den andra ekvationen:
x
=
12
4
y
4
2
12
4
y
4
+
5
y
=
18

Nu är den andra ekvationen bara ett uttryck av y och kan då lösas på vanligt sätt:
x
=
12
4
y
4
24
8
y
4
+
5
y
=
18
x
=
12
4
y
4
24
8
y
4
+
20
y
4
=
72
4
x
=
12
4
y
4
24
8
y
+
20
y
=
72

x
=
12
4
y
4
12
y
=
48
x
=
12
4
y
4
y
=
4

y är alltså lika med -4. Vi substituerar i sin tur in detta i den första ekvationen för att få ut x:
x
=
12
4
4
4
y
=
4
x
=
1
y
=
4

Den kompletta lösningen till ekvationssystemet är alltså x=1 och y=-4. Alltså är rätt svar C) x är positiv och y är negativ


4   Medelvärdet hos 15 st tal är 3. 14 av talen är 4,1,1,1,1,3,1,5,2,1,1,8,4,3,. Hur stort är det 15:e talet?
Svar A)
9


Lösning:
För att lösa uppgiften kan vi ställa upp en ekvation med x som det sökta talet:
4
+
1
+
1
+
1
+
1
+
3
+
1
+
5
+
2
+
1
+
1
+
8
+
4
+
3
+
x
15
=
3
,
Därefter löser vi ekvationen:
36
+
x
15
=
3
,
36
+
x
=
3
15
,
36
+
x
=
45
,
x
=
45
36
,
x
=
9

Rätt svar är alltså 9.
5   Beräkna följande bråkuttryck:
7
9
1
7
+
2
3
6
3

Svar D)
52
9


Lösning:
Detta bråkuttryck är kvoten av två bråk adderat med kvoten av två andra bråk. Börja med att räkna ut den första kvoten:
7
9
1
7
=
7
7
9
1
=
49
9

Räkna sedan ut den andra kvoten:
2
3
6
3
=
2
3
6
3
3
3
=
2
3
2
1
=
2
1
3
2
=
2
6
=
2
2
6
2
=
1
3

Räkna slutligen ut summan av de två erhållna bråken:
49
9
+
1
3
=
(mgn = 9)
=
49
1
9
1
+
1
3
3
3
=
49
9
+
3
9
=
49
+
3
9
=
52
9


6   Utför följande svårare division:
368
8

Svar A)
46


Lösning:
När man har ett större tal dividerat med ett ental, så finns det ett bra sätt att utföra divisionen på, se nedan:
3
6
8
8
=
8 går i 3 0 gånger. Utöka därför till två siffror
3
6
8
8
=
8 går i 36, 4 gånger. Sätt därför 4 i resultatet , och resten 4 framför nästa siffra
3
6
8
8
=
4
4
8 går i 48, 6 gånger. Sätt därför 6 i resultatet
3
6
8
8
=
4
6
Vi har nu det färdiga resultatet: 46

7   Låt
f
x
=
2
x
+
3
och
g
x
=
5
x
+
5
. Vad blir
f
g
6
?
Svar A)
73


Lösning:
Man kan likna funktioner med en svart låda, se bilden nedan. x är det som man stoppar in i lådan, s.k. input, f är själva lådan som gör något med input, och f(x) är det som kommer ut, s.k. output.
I vårt fall har vi två funktioner f och g. De är kopplade som i en kedja. Det som kommer ut från g går in direkt i f. Vi börjar med att beräkna det som kommer ut från g:

g
6
=
5
x
+
5
=
5
6
+
5
=
30
+
5
=
35


Det som kom ut från g blev alltså 35. Stoppa i sin tur detta värde i funktionen f:

f
35
=
2
x
+
3
=
2
35
+
3
=
70
+
3
=
73



8   Beräkna följande bråkuttryck:
5
9
2
7

Svar D)
35
18


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk dividerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt. I det här fallet gick det inte att förkorta något av bråken

För att nu utföra divisionen så för man upp det undre bråket täljare i det övre bråkets nämnare, och vice versa det undre bråkets nämnare i det övre bråkets täljare
5
9
2
7
=
5
7
9
2
=
35
18

9   Låt
f
x
=
4
x
+
2
och
g
x
=
4
x
+
5
. Vad blir
f
g
7
?
Svar C)
134


Lösning:
Man kan likna funktioner med en svart låda, se bilden nedan. x är det som man stoppar in i lådan, s.k. input, f är själva lådan som gör något med input, och f(x) är det som kommer ut, s.k. output.
I vårt fall har vi två funktioner f och g. De är kopplade som i en kedja. Det som kommer ut från g går in direkt i f. Vi börjar med att beräkna det som kommer ut från g:

g
7
=
4
x
+
5
=
4
7
+
5
=
28
+
5
=
33


Det som kom ut från g blev alltså 33. Stoppa i sin tur detta värde i funktionen f:

f
33
=
4
x
+
2
=
4
33
+
2
=
132
+
2
=
134



10   Vad kan sägas om lösningen till följande ekvationssystem:

4
x
+
5
y
=
33
3
x
+
4
y
=
26

Svar D) Både x och y är positiva

Lösning:
Ett ekvationssystem kallas det när man har två eller fler ekvationer som måste uppfyllas samtidigt. Det gäller att hitta de värden på variablerna i systemet så att ekvationerna uppfylls. I det här fallet har vi två ekvationer samt två variabler, x och y. Det finns lite olika sätt att lösa ekvationsystem på. Här ska vi använda substitutionsmetoden som går ut på att bryta ut en variabel från den ena ekvationen och substituera in den i den andra ekvationen.

Vi börjar alltså genom att bryta ut x ur den första ekvationen:
4
x
=
33
5
y
3
x
+
4
y
=
26
x
=
33
5
y
4
3
x
+
4
y
=
26

Substituera sedan uttrycket för x in i den andra ekvationen:
x
=
33
5
y
4
3
33
5
y
4
+
4
y
=
26

Nu är den andra ekvationen bara ett uttryck av y och kan då lösas på vanligt sätt:
x
=
33
5
y
4
99
15
y
4
+
4
y
=
26
x
=
33
5
y
4
99
15
y
4
+
16
y
4
=
104
4
x
=
33
5
y
4
99
15
y
+
16
y
=
104

x
=
33
5
y
4
1
y
=
5
x
=
33
5
y
4
y
=
5

y är alltså lika med 5. Vi substituerar i sin tur in detta i den första ekvationen för att få ut x:
x
=
33
5
5
4
y
=
5
x
=
2
y
=
5

Den kompletta lösningen till ekvationssystemet är alltså x=2 och y=5. Alltså är rätt svar D) Både x och y är positiva


11   Medelvärdet hos 8 st tal är 4. 7 av talen är 3,6,4,3,1,8,1,. Hur stort är det 8:e talet?
Svar C)
6


Lösning:
För att lösa uppgiften kan vi ställa upp en ekvation med x som det sökta talet:
3
+
6
+
4
+
3
+
1
+
8
+
1
+
x
8
=
4
,
Därefter löser vi ekvationen:
26
+
x
8
=
4
,
26
+
x
=
4
8
,
26
+
x
=
32
,
x
=
32
26
,
x
=
6

Rätt svar är alltså 6.
12   Betrakta nedanstående figur. VinkelnAEC är 69. Hur stor är vinkelnACE?

Svar D)
21


Lösning:
Vi ska bestämma vinkelnACE. För att förstå vilken vinkel som åsyftas med en beteckning, t.ex.AEC så är det den mittersta bokstaven E som anger vid vilken punkt som vinkeln ligger. De två andra bokstäverna runtomkring E:et, dvs A:et och C:et, är till för att skilja på om det finns flera vinklar kring den punkten där E ligger.. För att lösa uppgiften så gäller det att veta att vinkelsumman i en triangel är 180. Då kan vi helt enkelt subtrahera 69 och 90(som är den räta vinkeln, den lilla kvadraten i triangelns hörn) från 180:

ACE
=
180
90
69
=
 21.
13   Beräkna följande bråkuttryck:
2
9
7
8

Svar B)
16
63


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk dividerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt. I det här fallet gick det inte att förkorta något av bråken

För att nu utföra divisionen så för man upp det undre bråket täljare i det övre bråkets nämnare, och vice versa det undre bråkets nämnare i det övre bråkets täljare
2
9
7
8
=
2
8
9
7
=
16
63

14   Förenkla följande uttryck:
7
8
2

Svar D)
56
2


Lösning:
Detta är ett uttryck upphöjt i två steg. Det kan man förenkla genom att helt enkelt multiplicera exponenterna med varandra:
7
8
2
=
8
7
2
=
56
2

15   Låt
f
x
=
2
x
+
4
och
g
x
=
2
x
+
5
. Vad blir
f
g
6
?
Svar A)
38


Lösning:
Man kan likna funktioner med en svart låda, se bilden nedan. x är det som man stoppar in i lådan, s.k. input, f är själva lådan som gör något med input, och f(x) är det som kommer ut, s.k. output.
I vårt fall har vi två funktioner f och g. De är kopplade som i en kedja. Det som kommer ut från g går in direkt i f. Vi börjar med att beräkna det som kommer ut från g:

g
6
=
2
x
+
5
=
2
6
+
5
=
12
+
5
=
17


Det som kom ut från g blev alltså 17. Stoppa i sin tur detta värde i funktionen f:

f
17
=
2
x
+
4
=
2
17
+
4
=
34
+
4
=
38



16   Vad är medelvärdet av följande tal: 5,9,6,5,8,9,9,5,4,9,8?
Svar C)
7


Lösning:
Börja med att räkna ut summan av talen:
5
+
9
+
6
+
5
+
8
+
9
+
9
+
5
+
4
+
9
+
8
=
77

Dela sedan med antalet tal för att få svaret:
77
11
=
7


17   Beräkna följande bråkuttryck:
2
4
7
6

Svar A)
7
12


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk multiplicerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt.
2
4
7
6
=
1
2
7
6


För att nu multiplicera bråken med varandra, så multiplicerar man täljarna för sig och nämnarna för sig
1
2
7
6
=
1
7
2
6
=
7
12

18   Hos vilket av följande talpar är talen relativt prima varandra?
Svar C) 8 och 9

Lösning:
Att två tal är relativt prima varandra betyder att de inte har någon gemensam delare större än 1. Därför måste alternativ C) 8 och 9 vara rätt eftersom sgd(8,9) = 1.
19   Betrakta nedanstående figur. Följande gäller: AE = 16, BD = 4 och AB = 21. Hur lång är BC?

Svar B)
7


Lösning:
Det man kan börja med att notera är att de två trianglarna ACE och BCD är likformiga med varandra. Det är de eftersom båda har en rät vinkel samt delar en vinkel i toppen. Då är även den tredje vinkel densamma och trianglarna alltså likformiga. Att de är likformiga betyder att de har samma förhållnde mellan sidorna.

Låt x vara den okända sidan BC. Om nu förhållandet mellan de två trianglarnas sidor är detsamma, så kan vi ställa upp följande ekvation:

x
BD
=
x
+
AB
AE


Lös nu ekvationen genom att försöka bryta ut x

AE
x
=
BD
x
+
AB
,
16
x
=
4
x
+
21
,
16
x
=
4
x
+
4
21
,

16
x
4
x
=
84
,
12
x
=
84
,
x
=
84
12
=
7

20   Beräkna följande bråkuttryck:
7
9
1
2

Svar C)
14
9


Lösning:
Detta uttryck är ett bråk dividerat med ett annat bråk. Börja med att förkorta resp. bråk så långt som möjligt. I det här fallet gick det inte att förkorta något av bråken

För att nu utföra divisionen så för man upp det undre bråket täljare i det övre bråkets nämnare, och vice versa det undre bråkets nämnare i det övre bråkets täljare
7
9
1
2
=
7
2
9
1
=
14
9